Выбери любимый жанр

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - Большая Советская Энциклопедия "БСЭ" - Страница 20


Перейти на страницу:
Изменить размер шрифта:

20

||lx || = |l| ||x ||, l Î

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-138388857.png
 x , если ||xnx ||
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-190077994.png
 0.

  В большом числе задач возникает ещё более частная ситуация, когда в линейном пространстве Х можно ввести скалярное произведение — обобщение обычного скалярного произведения в евклидовом пространстве. Именно, скалярным произведением элементов x , у Î Х называется комплексное число (x , у ) такое, что всегда (x , x ) ³ 0 и (x , x ) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-114186921.png
 
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-142994055.png
, l, m Î
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-115920856.png
 является нормой элемента x . Такое пространство называется предгильбертовым. Для конструкций Ф. а. важно, чтобы рассматриваемые пространства были полными (т. е. из того, что
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-191139965.png
 для xm , xn Î X, следует существование предела
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-196145664.png
, также являющегося элементом Х ). Полное линейное нормированное и полное предгильбертово пространства называются, соответственно, банаховым и гильбертовым. При этом известная процедура пополнения метрического пространства (аналогичная переходу от рациональных чисел к действительным) в случае линейного нормированного (предгильбертова) пространства приводит к банахову (гильбертову) пространству.

  Обычное евклидово пространство является одним из простейших примеров (действительного) гильбертова пространства . Однако в Ф. а. играют основную роль бесконечномерные пространства, т. е. такие, в которых существует бесконечное число линейно независимых векторов. Вот примеры таких пространств, элементами которых являются классы комплекснозначных (т. е. со значениями в

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-188813132.png
, норма ||x || =
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-136987082.png
; банахово пространство Lp (T ) всех суммируемых с р -й (p ³ 1) степенью функций на Т , норма
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-108484555.png
; банахово пространство lp всех последовательностей таких, что
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-196303694.png
, здесь
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-199902624.png
 
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-156513895.png
 (множеству целых чисел), норма ||x || =(å
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-108042944.png
|xj |p )1/p ; в случае p = 2 пространства l2 и L2 (T ) гильбертовы, при этом, например, в L2 (T ) скалярное произведение
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-101151278.png
; линейное топологическое пространство D (
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-138303911.png
), состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-199293621.png
, каждая из которых финитна [т. е. равна нулю вне некоторого интервала (а , b )]; при этом xn
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-104361198.png
 x, если xn (t ) равномерно финитны [т. е. (а , b ) не зависит от n ] и сходятся равномерно со всеми своими производными к соответствующим производным x (t ).

  Все эти пространства бесконечномерны, проще всего это видно для l2 : векторы ej = {0,..., 0, 1, 0,...} линейно независимы.

  С геометрической точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н , свойства которых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два вектора x , у Î Н называются ортогональными (x ^ y ), если (x , у ) = 0. Для любого x Î Н существует его проекция на произвольное подпространство F — линейное замкнутое подмножество Н , т. е. такой вектор xF , что xxF ^f для любого f Î F . Благодаря этому факту большое количество геометрических конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н , где они часто приобретают аналитический характер. Так, например, обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н ортонормированного базиса — последовательности векторов ej , j Î

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-138541758.png
, из Н таких, что ||ej || = 1, ej ^ ek при j ¹ k , и для любого x Î H справедливо «покоординатное» разложение

x = å

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-189614738.png
xj ej (1)

где xj = (x , ej ), ||x || = å

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-189779371.png
|xj |2 (для простоты Н предполагается сепарабельным, т. е. в нём существует счётное всюду плотное множество). Если в качестве Н взять L2 (0, 2p) и положить
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-133618651.png
, j =...,—1, 0, 1..., то (1) даст разложение функции x (t ) Î L2 (0, 2p) в ряд Фурье, сходящийся в среднем квадратичном. Кроме того, соотношение (1) показывает, что соответствие между Н и l2 ' {xj} , j Î
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-166315759.png
 гильбертовых пространств Hj — конструкция, подобная образованию Н одномерными подпространствами, описываемому формулой (1); факторизация и пополнение: на исходном линейном пространстве Х задаётся квазискалярное произведение [т. е. возможно равенство (x , x ) = 0 для x ¹ 0], часто весьма экзотического характера, и Н строится процедурой пополнения Х относительно (.,.) после предварительного отождествления с 0 векторов x , для которых (x , x ) = 0; тензорное произведение
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-188744086.png
 — образование его аналогично переходу от функций одной переменной f (x1 ) к функциям многих переменных f (x1 ,..., xq ); проективный предел
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-133837426.png
 банаховых пространств — здесь
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-140081646.png
 (грубо говоря), если
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-168382481.png
 для каждого a; индуктивный предел
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-192011267.png
 банаховых пространств X1 Ì X2 Ì..., здесь
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-127204934.png
, если все xj , начиная с некоторого j , лежат в одном Xj0 , и в нём
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-124797001.png
.  Две последние процедуры обычно применяются для построения линейных топологических пространств. Таковы, например, ядерные пространства — проективный предел гильбертовых пространств Нa , обладающих тем свойством, что для каждого a найдётся b такое, что hb Ì Нa , и это — т. н. вложение Гильберта — Шмидта [D (
Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-134596595.png
) — пример ядерного пространства].

20
Мир литературы

Жанры

Фантастика и фэнтези

Детективы и триллеры

Проза

Любовные романы

Приключения

Детские

Поэзия и драматургия

Старинная литература

Научно-образовательная

Компьютеры и интернет

Справочная литература

Документальная литература

Религия и духовность

Юмор

Дом и семья

Деловая литература

Жанр не определен

Техника

Прочее

Драматургия

Фольклор

Военное дело