Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис - Страница 14

Предпринятый Кеплером поиск математических законов природы, в существовании которых он был глубоко убежден, поначалу складывался неудачно: не один год ушел на проверку неверных гипотез. В предисловии к «Космографической тайне» Кеплер так формулирует программу своего сочинения: 

Однако попытка раскрыть «тайну мироздания» на этой основе оказалась безуспешной: выводы теории, построенной на свойствах пяти правильных тел, расходились с результатами наблюдений, и, перепробовав множество вариантов в надежде спасти полюбившуюся ему идею, Кеплер был вынужден отказаться от намеченного подхода. 

Зато необычайным успехом увенчались более поздние попытки Кеплера найти в природе гармонические математические отношения. Наиболее известные и значительные из полученных им результатов известны ныне под названием три закона Кеплера(законы движения планет). Первые два закона были опубликованы Кеплером в сочинении, вышедшем в 1609 г. под весьма длинным названием, так что обычно при ссылках на эту работу приводят либо начало названия — «Новая астрономия», либо его заключительную часть — «Комментарии о движении планеты Марс». Особенно замечателен первый закон Кеплера, ибо, сформулировав его, Кеплер порвал с двухтысячелетней традицией, согласно которой небесные тела должны обязательно двигаться по кругам или сферам. Кеплер отказался от деферента и нескольких эпициклов, к которым прибегали при описании движения любой планеты и Птолемей, и Коперник, и показал, что для описания движения планеты достаточно указать один-единственный эллипс. Первый закон Кеплера гласит: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце(рис. 2.1). Другой фокус любой эллиптической орбиты представляет собой «пустую» математическую точку, в которой ничего не находится. Первый закон Кеплера имеет первостепенное значение, поскольку позволяет легко и просто представить орбиты планет. Разумеется, Кеплер, как и Коперник, добавляет, что, описывая свою эллиптическую траекторию, Земля одновременно вращается и вокруг своей оси.

Но чтобы быть полезной, астрономии следует идти гораздо дальше: она должна уметь предсказывать положения планет. Если мы обнаружим, что какая-то планета в момент наблюдения находится, скажем, в точке  P(рис. 2.1), то нам может понадобиться узнать, когда она будет находиться в каком-либо другом положении, например в точке солнцестояния или равноденствия. А чтобы ответить на этот вопрос, необходимо знать, с какой скоростью планета движется по своей траектории. 

Пытаясь найти скорость планеты, Кеплер сделал еще один решающий шаг. Коперник и греческие мыслители считали скорости планет постоянными. Планета у них двигалась по эпициклу равномерно, проходя равные дуги окружности за равные промежутки времени, а центр каждого эпицикла перемещался с постоянной скоростью по другому эпициклу или по деференту. Из наблюдений Кеплер знал, что планета движется по эллиптической орбите с изменяющейся скоростью, и в результате долгих и трудных поисков нашел правильный закон изменения скоростей. Кеплер открыл, что если планета, двигаясь по орбите, перемещается из точки P вточку Q(рис. 2.2), например, за один месяц, то на перемещение из точки P'в точку Q'ей также потребуется один месяц при условии, что площадь сектора PSQ равна площади сектора P'SQ'.Так как точка Pрасположена ближе к Солнцу, чем точка P',то дуга PQдолжна быть длиннее дуги P'Q',если площади секторов PSQи P'SQ'равны. Следовательно, планеты движутся по орбитам с переменной скоростью: чем ближе к Солнцу, тем быстрее.

Открыв второй закон (равенства секториальных скоростей), Кеплер был необычайно рад. Хотя пользоваться вторым законом не так просто, как законом постоянства скоростей, совершенное открытие подкрепило глубочайшую убежденность Кеплера в том, что господь бог, создавая Вселенную, руководствовался математическими принципами. Бог действовал чуть более изощренно, чем предполагали предшественники Кеплера, но теперь со всей очевидностью было установлено, что скорости движения планет по орбитам подчиняются математическому закону. 

Но еще одна важная проблема по-прежнему оставалась нерешенной: по какому закону изменяются расстояния, отделяющие планеты от Солнца? Проблема осложнялась тем, что расстояние от планеты до Солнца не постоянно. И Кеплер принялся за поиск нового принципа, учитывающего зависимость расстояния от времени. По его глубокому убеждению бог сотворил мир не только на основе математических принципов, но и гармонично, причем слово «гармония» Кеплер понимал в самом прямом смысле. Так, он верил в существование музыки сфер, образующей гармонические созвучия, которые, хотя и невоспринимаемы на слух, но тем не менее их можно обнаружить при надлежащем «переводе» особенностей движения планет на ноты. Следуя этой путеводной идее и основываясь на поистине удивительной комбинации аргументов музыкального и математического характера, Кеплер устанавливает, что если  T— период обращения планеты вокруг Солнца, a D— среднее расстояние от планеты до Солнца, то T ²= kD ³,где k— постоянная, одинаковая для всех планет. Это утверждение и есть третий закон Кеплера для движения планет, торжественно провозглашенный им в сочинении «Гармония мира» (1619). 

Сформулировав третий закон, Кеплер разражается ликующим хвалебным гимном богу-творцу:

О том, с какой силой Коперник и Кеплер верили, что бог сотворил мир гармоничным и простым, можно судить по тем возражениям, с которыми им приходилось сталкиваться. Даже по теории Птолемея все остальные планеты, кроме Земли, находились в движении, и это объяснялось особо легкой и потому легко приводимой в движение субстанцией, из которой якобы сотворены планеты. Но что могло привести в движение тяжелую Землю? Ни Коперник, ни Кеплер не могли ответить на этот вопрос. Не принимая идею о суточном вращении Земли вокруг собственной оси, противники ее ссылались на такой, казалось бы, очевидный факт: тела не могли бы удержаться на поверхности вращающейся Земли и, сорвавшись с нее, улетели бы в космическое пространство, подобно тому как срываются предметы с вращающейся платформы. Против столь «неопровержимого» аргумента невозможно было возразить! Весьма неубедительным был ответ Коперника и на другой довод против суточного вращения Земли: вращающаяся Земля должна просто-напросто разлететься на части. На это Коперник возражал, что вращение Земли естественно и потому не может разрушить нашу планету. Должно быть, ощущая шаткость этого аргумента, Коперник, переходя в «контрнаступление», спрашивал, почему в таком случае небо не разлетается на части в результате очень быстрого суточного вращения, предусматриваемого геоцентрической теорией. Еще один довод против суточного вращения Земли состоял в следующем: если бы Земля вращалась с запада на восток, то любой предмет, подброшенный в воздух, отклонялся бы к западу, так как Земля под ним успевала бы поворачиваться. А если бы Земля к тому же обращалась вокруг Солнца, то более легкие предметы на Земле отставали бы от более тяжелых, поскольку скорости падающих предметов, как утверждали греки и продолжали считать ученые эпохи Возрождения, пропорциональны их весу. На это Коперник возражал, что воздух обладает земной природой и поэтому движется в полном соответствии с движением Земли. Суть всех этих возражений против суточного вращения Земли и ее обращения вокруг Солнца сводилась к тому, что движение Земли не вписывалось в рамки общепринятой во времена Коперника и Кеплера теории движения, предложенной еще Аристотелем.