Хаос и структура - Лосев Алексей Федорович - Страница 55

f) Наконец, в отношении линии вообще, взамен отвлеченной схематики, можно провести и нашу общую пятистепенпую формулу. Если, оставляя точку в стороне, в качестве перво–принципа рассматриваемой геометрической области мы возьмем линию вообще, то ее принципом явится та простейшая и абстрактнейшая форма линии, которая называется прямой, подобно тому как и «бытие», хотя в отношении перво–принципа и является уже чем–то оформленным и, следовательно, сложным, все же из всех других категорий есть наиболее «простая», «чистая», «абстрактная» и «идеальная». Выше мы определили прямую как самотождественное различие пространства. Сейчас же мы получаем новое выражение этого определения (вполне тождественное со старым): прямая есть идеальное бытие пространства.

По сравнению с прямой кривая оказывается, несомненно, некоторым становлением (пространства). Ведь чтобы образовалась какая–нибудь кривая, необходимо — 1) фиксирование прямой и одновременно с этим — 2) испытывание еще какого–нибудь иного воздействия на прямолинейное движение, отличного от этого последнего. Кривая от прямой отличается именно тем, что каждая новая точка прямой, которая образовалась бы в условиях свободного саморазвития, постоянно сдвигается в сторону под тем или иным другим влиянием, она всегда — иная и иная. Это и делает кривую становлением прямой.

Но тогда ставшим бытием линии оказывается замкну–тая кривая, так как ставшее кладет границу для распространения становления и возвращает его к себе же самому, превращая в фактически устойчивую подвижность.

Что же касается выразительной формы линий, то поскольку выражение (§ [21]) есть смысловое вобрание в себя субстанциально–инобытийного окружения, деформирующего (ибо оно—субстанциальное) самую субстанцию, т. е. существенное основание выражаемого, то здесь мы получим те или иные типы замкнутых кривых в зависимости от степени их деформации. Тут мы сталкиваемся с кривыми второго порядка, которые выпали из рассмотрения в прежнем подходе.

Прежде всего мы должны получить замкнутую кривую, которая никак не деформирована в смысле инобытия. Эта нулевая деформация, однако, не есть просто отсутствие всякой деформации, подобно тому как в теории множеств мы различаем нуль–множество и нуль просто. Но как мы должны выразить это геометрически точно? Ясно, что такой кривой является круг, но как математически оформить эту категорию? Здесь мы должны, к сожалению, затронуть некоторые вопросы аналитической геометрии, хотя последней у нас посвящается в дальнейшем специальный отдел. Именно, из разных методов характеристики кривых второго порядка мы изберем метод фокусов (ради примера, конечно, можно брать и любой другой метод определения кривых второго порядка) и скажем так.

Всякая плоская кривая второго порядка характеризуется двумя направлениями своей деформации, соответственно двум главным координатам. Каждое направление характеризуется парой фокусов. У геометров невозможно добиться настоящего интуитивного понимания фокуса, и понимание последнего почти всегда сводят на аналитические абстракции. Тем не менее фокус есть просто указание на деформацию. Это прямо выводится из толкования фокуса кривой второго порядка как такой дочки, расстояние которой от точек этой линии выражается рационально через их координаты, точно так же—как и из толкования фокуса в виде точки пересечения четырех мнимых касательных к линии второго порядка, проходящих через циклические точки. Но мы не будем здесь излагать этого подробно (отсылая к специальному отделу; ср. также §[105]), а только ограничимся простым и наивным констатированием того, что с удалением фокуса от центра кривая определенным образом деформируется, а с его приближением к центру она деформируется в обратном смысле. Из учения о мнимых величинах (§[105]) мы увидим также, что если положительные и отрицательные величины откладывать направо и налево по л>ам, то мнимые пойдут вверх и вниз по >-кам. Кривая второго порядка определяется двумя вещественными и двумя мнимыми фокусами. Ясно, чтобы не было никакой ино–бытийной деформации кривой, необходимо, чтобы кривизна ее была везде одной и той же, а это значит, что все четыре фокуса должны совпадать в одной точке. Тут мы имеем круг, кривую второго порядка, у которой все четыре фокуса слились в одну точку (поскольку, конечно, можно говорить об определенном положении мнимых точек).

Если эта математически–диалектическая позиция усвоена, то нетрудно будет получить и прочие кривые второго порядка. Пусть перво–принципом замкнутой кривой будет выведенное раньше ее понятие. Тогда ее бытием будет круг. И тогда ее становлением будет, несомненно, парабола, у которой именно и происходит уход в бесконечное становление второго вещественного фокуса, а также бесконечное расхождение и мнимых фокусов, или, точнее сказать, один из вещественных фокусов параболы здесь бесконечно удален, а оба мнимых совпадают с циклическими точками. Чтобы такое становление остановить, надо снова ухватить его второй конец. Это случается в гиперболе, второй вещественный фокус которой, пройдя бесконечность, вновь появляется на конечном расстоянии, но уже с другой стороны (как это и должно быть, поскольку бесконечность есть отрицание конечного, вернее, отрицание самой категории конечного); и то же случается тут и с мнимыми фокусами, которые в гиперболе лежат на конечной мнимой оси.

Интереснее всего, однако, выразительная форма замкнутой кривой. Из теории мнимостей (§[105]) мы узнаем, что мнимая величина есть в диалектическом смысле выразительная величина и что вещественная величина, перейдя в мнимость, тем самым получает свое выражение, поскольку мнимость представляет собою наличие в данном измерении перехода в следующее измерение без нарушения, однако, прав первого измерения. В применении к кривым второго порядка это значит, что их вещественные фокусы (а они вместе с мнимыми [суть] показатели деформации) должны стать мнимыми, а мнимые вещественными. Это произойдет, если мы будем все больше и больше разгибать гиперболу, покамест не превратим ее в две параллельные прямые и потом в эллипс, б [олыпая ] ось которого окажется расположенной именно перпендикулярно к прежнему положению оси параболы и гиперболы, и в нем старые вещественные фокусы гиперболы превратятся в мнимые, расположенные на малой оси эллипса, а старые мнимые фокусы гиперболы превратятся в вещественные эллипса, расположенные на его большой оси. Этот эллипс и есть выразительная форма кривой второго порядка вообще.

Можно было бы получить эллипс и раньше, путем раздвижения двух вещественных фокусов круга, но без удаления второго из них в бесконечность. Это было бы моментом становления, которое в развитом виде представлено у нас параболой. Тут, однако, ничего удивительного нет, так как становление мы относим и к чистому эйдосу и к энергии; и там и здесь оно есть некое выражение, хотя и дано оно здесь на разных ступенях диалектической зрелости. В полном же смысле слова диалектическим выражением кривой второго порядка является упомянутый эллипс с упомянутым появлением его из гиперболы.

4. Этим мы заканчиваем наши краткие указания, ориентирующие нас в диалектике линии. Далее, мы должны были бы рассматривать диалектику плоскости и пространства, категории которых выведены у нас выше.

а) Нас не должно смущать то обстоятельство, что чего–то плоскостного мы уже коснулись в рассуждениях о кривых. Если угодно, мы там коснулись также й пространства, потому что цельное интуитивное представление взаимоперехода кривых второго порядка никак не обойдется без пространственных элементов. Тем не менее все это было только линиями, а не плоскостями; и мы должны различать окружность и круг, поскольку первая—линия, а второй — плоскость. Привлечение же второго и третьего измерения неизбежно потому, что мы захотели фиксировать выразительные формы линии. Выражение, как мы знаем (§[21]), вообще всегда есть привлечение субстанциально нового инобытия (т.е., напр., не просто различение на линии положительного и отрицательного направления, что было бы внутренним инобытием линии, но привлечение нового измерения, т. е. плоскости). Однако, поскольку речь идет о чистом выражении, это субстанциальное инобытие не заставляет реально и вещественно переходить в него (что привело бы просто к забвению самой линии), а заставляет только смысловым образом отображать его на себе. Всякая кривая вовсе не есть плоскость в реальном смысле слова, но она отражает на себе значимость плоскости, она — мнимая плоскость (это нам станет окончательно ясным после исследования мнимых величин, §[106]). И это потому, что кривая так или иначе несет с собою выразительную энергию линии вообще. Если угодно найти интуитивный образ для диалектической категории выражения, которое есть переход от данного смысла в инобытие, но не реальный переход, а только идеальный, смысловой, то кривые второго порядка — круг, эллипс, параболу и гиперболу — можно считать одним из самых лучших способов представлять себе «выражение».