Истина в пределе. Анализ бесконечно малых - Дуран Антонио - Страница 19

Некоторое время спустя между Лейбницем и Джоном Пеллом произошел инцидент, в котором англичане встали на сторону Пелла. Лейбниц познакомился с Пеллом на встрече с Робертом Бойлем в доме его сестры на улице Пэлл-Мэлл. Как позднее вспоминал Лейбниц, он иногда посещал Бойля, так как «не пренебрегал химией». Лейбниц сообщил Пеллу, что открыл общий метод представления и интерполяции рядов с помощью разностей чисел. Пелл был удивлен: Лейбниц приехал из Парижа и должен был знать, что эти результаты уже были опубликованы во Франции и в Англии несколько лет назад Габриелем Мутоном. Лейбниц на следующий же день ознакомился с книгой Мутона в библиотеке Королевского общества и убедился, что Пелл был совершенно прав. Версия Лейбница была зафиксирована в письме к Ольденбургу от 3 февраля 1673 года, а тот в свою очередь сообщил об этом Ньютону. В итоге спустя 14 лет, когда возник спор о том, кто же первым открыл анализ бесконечно малых, Ньютон, словно желая показать склонность Лейбница к плагиату, писал: «Пелл обвинил Лейбница в том, что тот скопировал метод интерполяции из книги Мутона».

В последующие месяцы Ольденбург и Лейбниц обменялись письмами, в которых последний пожаловался на недостаток знаний математики. Как позднее вспоминал Лейбниц, в то время он совершенно не знал геометрии. Например, в апреле

1673 года Лейбниц написал Ольденбургу о результатах, касавшихся сумм чисел, обратных фигурным числам. (Ньютон позднее высмеивал эти результаты, так как они были очень простыми.) Когда Ольденбург сообщил, что эти результаты содержатся в книге Quadrature arithmeticae Пьетро Менголи, Лейбниц ошибочно возразил ему, что метод Менголи применим только для конечных, а не для бесконечных рядов. Изучив подробнее труд Менголи, Лейбниц увидел различие между своими результатами и результатами Менголи: они были получены с помощью разных методов.

Ольденбург также выслал Лейбницу результаты, которые Коллинз считал наиболее показательными для британской математики того времени. Эти результаты приводились без доказательств, иногда их было сложно понять, кроме того, при переписывании были допущены ошибки. Так как переписка часто сохранялась в архивах Лондонского королевского общества, целью этих писем было документально зафиксировать первенство английских математиков. Ньютон подробнейшим образом изучил эти письма, чтобы подкрепить обвинения Лейбница в плагиате, хотя Ольденбург отправил Лейбницу не письма Коллинза, а их сокращенный перевод с английского на латынь. Из-за этих сокращений вкупе с ошибками, допущенными при переписывании, письма Ольденбурга было практически невозможно понять.

Лейбниц, получив эти письма, решил, что ему следует уделять больше времени и внимания математике и завершить свое образование. Именно тогда его охватила подлинная страсть к математике. Он более чем на год прервал переписку с Ольденбургом и принялся за работу. По словами Хоффмана, «он прекратил отношения с Ольденбургом, чтобы заняться самообразованием и заполнить пробелы в знаниях, которые он с болью осознавал. Их отношения возобновились лишь в конце лета 1674 года. Тогда Лейбниц был уже другим человеком и превосходно разбирался в предмете».

Лейбниц позднее писал, что обширным знаниям математики он был обязан наставничеству и примеру Гюйгенса. Следуя советам этого голландского ученого, который в то время благосклонно относился к нему, Лейбниц изучил труды Паскаля, Фабри, Грегори, Сен-Венсана, Декарта и де Слюза, а также Меркатора, книгу которого, Logarithmotechnia, он купил в Лондоне, равно как и Lectiones Барроу. Однако эти работы он изучил лишь несколько лет спустя. С книгами остальных авторов он ознакомился в королевской библиотеке, некоторые приобрел. Одной из таких книг было издание «Геометрии» Декарта под редакцией ван Схотена, которое в период жизни в Нюрнберге показалось Лейбницу слишком сложным. Особенно важным стал труд Паскаля Traite des sinus du quart de cercle, в котором рассказывалось о так называемом характеристическом треугольнике — прямоугольном треугольнике, гипотенуза которого является касательной к кривой, а катеты — дифференциалами x и у, как показано на рисунке.

Несколько лет спустя в письме к одному из своих первых учеников Якобу Бернулли Лейбниц написал, что именно эта работа Паскаля со всей ясностью показала ему, что задачи о касательных и квадратурах являются взаимно обратными. Лейбниц добавил, что у Паскаля, должно быть, была повязка на глазах — ничем иным нельзя объяснить то, что он сам не заметил этого. Лейбниц продемонстрировал племяннику Паскаля свою вычислительную машину в июне 1674 года. Паскаль также придумал вычислительную машину, которая, однако, была способна выполнять только сложение и вычитание. Лейбниц выразил сожаление, что некоторые статьи Паскаля были до сих пор не опубликованы, и попросил его племянника отправить ему несколько рукописей этого французского математика и философа.

В течение 1673 года Лейбниц с помощью характеристического треугольника совершил несколько важных открытий. В частности, он открыл метод преобразования, напоминающий современный метод интегрирования по частям. Взяв за основу этот метод, он смог найти разложение в ряд для функции арктангенса и получил свой знаменитый бесконечный ряд, с помощью которого можно вычислить число 71. В декабре 1673 года Лейбниц обсудил с Гюйгенсом возможность решения классической греческой задачи о квадратуре круга с помощью этого ряда.

Далее он занялся решением задач о касательных, взяв за основу метод де Слюза. Хоффман, подробно изучив рукописи Лейбница того периода, сделал вывод, что в своей работе Лейбниц опирался на труды вышеупомянутых авторов, к которым следует добавить Гюйгенса, и не использовал работы Ньютона и Барроу.

В письмах, отправленных во второй половине 1674-го и в начале 1675 года, Лейбниц сообщил Ольденбургу о своих результатах, полученных, по его словам, отчасти «благодаря редкой удаче». В частности, он ознакомил Ольденбурга (не приведя ни подробностей, ни формулы) с рядом для вычисления числа 71, разложением функции арксинуса в ряд, а также косвенно упомянул метод преобразования. На этот раз Ольденбург ответил ему в более критическом тоне, чем в ранний период их знакомства, так как в то время Лейбниц не скрывал своего дилетантства. Также не приводя ни подробностей, ни формул, он сообщил Лейбницу о результатах, полученных британскими математиками, в частности Ньютоном и Джеймсом Грегори: «Мне хотелось бы обратить ваше внимание на то, что теория и метод измерения кривых, которые использует уже упомянутый Джеймс Грегори, а также Исаак Ньютон, могут быть применены к любой кривой, механической или геометрической». В письме от 20 марта 1675 года Лейбниц просит подробнее рассказать об этих результатах.

Ольденбург переадресовал письмо Коллинзу, после чего 12 апреля направил Лейбницу ответ, в котором указывается разложение в ряд для синуса и арксинуса, полученное Ньютоном, ряды Грегори для тангенса и арктангенса, а также некоторые результаты, касающиеся интерполяции, квадратур и других задач. Как бы то ни было, в письме приводились лишь результаты, но не объяснялось, каким способом они были получены. Лейбниц приписал авторство этих рядов Ольденбургу и, по мнению Хоффмана, не совсем понял, что попало ему в руки, так как пообещал сравнить эти результаты со своими и дать по этому поводу комментарий, но так никогда и не сделал этого. Так как о некоторых из этих рядов Лейбниц узнал позднее и из других источников, это дало Ньютону основания впоследствии обвинить его в плагиате результатов, полученных через Ольденбурга.

Мы можем достаточно точно указать, когда Лейбниц открыл анализ бесконечно малых. Это произошло в конце октября — начале ноября 1675 года, если вообще уместно приводить столь точные даты для такого значимого открытия. В сохранившихся рукописях, которые относятся к этому периоду, особенно тех, что датированы 29 октября и 11 ноября, Лейбниц вводит систему обозначений математического анализа и описывает с ее помощью алгоритм, в котором впоследствии станут заметны различия с работами его предшественников, приводит правила анализа и определяет интегрирование и дифференцирование как взаимно обратные операции. Хоффман пишет: «После того как был сделан этот первый, решающий шаг в сторону «алгебраизации» задач о бесконечно малых, перед этим человеком, умевшим определить характерные и общие элементы среди мешанины похожего, открылась новая картина мира. <…> Он четко понимал, чего не хватает в созданном им математическом анализе, но знал, что эти недостатки можно исправить и что путь в новый мир успешно открыт».