Книга шифров. Тайная история шифров и их расшифровки - Сингх Саймон - Страница 71

В апреле 1977 года Ривест, Шамир и Адлеман отмечали еврейскую Пасху в студенческом общежитии колледжа и выпили значительное количество вина Манишевич, а где-то около полуночи отправились по домам. Ривест не мог уснуть и, лежа на кровати, читал учебник по математике. Непроизвольно он начал размышлять над вопросом, который занимал его уже много недель: можно ли создать асимметричный шифр? Существует ли односторонняя функция, которую можно было бы обратить, только если у получателя есть некая специальная информация? Внезапно туман в голове стал рассеиваться, и на него снизошло откровение. Остаток ночи он провел, формализуя свою идею, и, еще до того, как наступил рассвет, практически написал законченную научную статью. Ривест сделал открытие, но состоялось оно только благодаря длившемуся целый год сотрудничеству с Шамиром и Адлеманом, а без них оказалось бы невозможным. Закончил статью Ривест перечислением авторов в алфавитном порядке: Адлеман, Ривест, Шамир.

На следующее утро Ривест передал статью Адлеману, который, как обычно, постарался ее растерзать, но на сей раз он не смог найти ни одной ошибки. Единственно, он раскритиковал список авторов.

«Я попросил Рона, чтобы он убрал мое имя из статьи, — вспоминает Адлеман. — Я сказал ему, что это его открытие, а не мое. Но Рон отказался, и в результате завязался спор. Мы порешили, что я отправлюсь домой, поразмышляю над этим ночь и скажу, чего бы мне хотелось. На следующий день я вернулся и пред ложил Рону, чтобы он поставил меня третьим автором. Как мне сейчас вспоминается, тогда я думал, что эта статья будет самой неинтересной из всех, которые я когда-либо писал». Вряд ли Адлеман мог ошибиться сильнее. Алгоритм, получивший название RSA (Ривест, Шамир, Адлеман), а не ARS, стал важнейшим шифром в современной криптографии.

Перед тем как познакомиться с идеей Ривеста, напомним, что же искали ученые для создания асимметричного шифра:

(1) Алиса должна создать открытый ключ, который затем обнародует, так что Боб (и любой другой) смогут воспользоваться им, чтобы зашифровывать для нее сообщения. Поскольку открытый ключ является односторонней функцией, он должен быть таким, чтобы обратить эту функцию и расшифровать сообщения для Алисы не смог практически никто.

(2) Алисе, однако, необходимо расшифровывать присланные ей сообщения. Поэтому у нее должен иметься секретный ключ — некоторое количество специальной информации, которая позволит ей обратить действие открытого ключа. Тем самым Алиса (и лишь она одна) сумеет расшифровать все присланные ей сообщения.

_{Рис. 65 Рональд Ривест, Ади Шамир и Леонард Адлеман.}

Душой асимметричного шифра Ривеста является односторонняя функция, основанная на модулярной функции, описанной ранее в этой главе. Односторонняя функция Ривеста может применяться для зашифровывания сообщения; к сообщению, которое в нашем случает является числом, применяется функция, и в результате получается шифртекст — другое число. Я не буду подробно описывать одностороннюю функцию Ривеста (для этого см. Приложение J) один особый аспект, известный просто как N, поскольку именно N делает при определенных обстоятельствах одностороннюю функцию обратимой и, тем самым, идеальной для применения в качестве асимметричного шифра.

N важно, поскольку оно представляет собой изменяющийся элемент односторонней функции, благодаря чему каждый человек может выбирать различные значения N, образуя всякий раз различные односторонние функции. Чтобы выбрать свое собственное значение N, Алиса берет два простых числа, р и q перемножает их. Простое число — это число, у которого нет других делителей, кроме самого себя и 1. Например, 7 — это простое число, т. к. оно не делится без остатка ни на какое другое число, кроме 1 и 7. Точно так же и 13 — простое число, т. к. оно тоже не делится без остатка ни на какое другое число, кроме 1 и 13. А вот 8 уже является не простым, а составным числом, поскольку может делиться на 2 и на 4.

Итак, Алиса может выбрать свои простые числа, например, р = 17 159 и q = 10 247. Перемножая эти два числа, она получает 17 159 х 10 247 = 175 828 273. Полученное Алисой N фактически будет ее открытым ключом для зашифровывания, и она может напечатать его на своей визитной карточке, разместить в Интернете или опубликовать в справочнике открытых ключей вместе со значениями N других людей. Если Боб захочет зашифровать сообщение для Алисы, он отыскивает ее значение N (175 828 273), а затем вставляет его в одностороннюю функцию общего вида, которая также известна всем. Теперь у Боба есть односторонняя функция, сшитая с открытым ключом Алисы, поэтому ее можно назвать односторонней функцией Алисы. Чтобы зашифровать сообщение для Алисы, он берет одностороннюю функцию Алисы, вставляет сообщение, выписывает результат и отправляет его Алисе.

В этот момент зашифрованное сообщение становится секретным, поскольку никто не сможет расшифровать его. Сообщение было зашифровано с помощью односторонней функции, поэтому обращение односторонней функции и расшифровка сообщения по определению является исключительно трудным делом. Однако остается вопрос, как же Алиса сумеет его расшифровать? Чтобы прочитать присланные ей сообщения, у Алисы должен быть способ обращения односторонней функции. Ей необходимо иметь доступ к некоторой специальной порции информации, которая и даст ей возможность расшифровать сообщение. К счастью для Алисы, Ривест задумал и создал одностороннюю функцию таким образом, что она является обратимой для каждого, кто знает значения p и q — два простых числа, которые были перемножены для получения N. Хотя Алиса сообщила всем, что у нее N равняется 175 828 273, она не раскрыла значений р и q, поэтому только у нее есть специальная информация, необходимая для расшифровки своих сообщений.

Мы можем рассматривать N как открытый ключ — информация, которая доступна всем и каждому и необходимая для того, чтобы зашифровывать сообщения для Алисы. Тогда как р и q являются секретным ключом, доступным только Алисе, — информация, необходимая для расшифровывания этих сообщений.

Подробности того, как можно использовать р и q для обращения односторонней функции приведены в Приложении J. Имеется, однако, один вопрос, который следует решить не откладывая. Если все знают открытый ключ N, то разве нельзя найти р и q — секретный ключ — и прочесть сообщения Алисы? Как-никак, Nбыло образовано из р и q. В действительности же оказывается, что если N достаточно велико, то из него практически невозможно вычислить р и q, и это, пожалуй, самый превосходный и элегантный аспект в асимметричном шифре RSA.

Алиса образовала N, выбрав pиqзатем перемножив их вместе. Основной момент здесь заключается в том, что это по своей сути односторонняя функция. Чтобы продемонстрировать односторонний характер умножения простых чисел, мы можем взять два простых числа, например, 9419 и 1933, и перемножить их. Используя калькулятор, нам понадобится всего лишь несколько секунд, чтобы получить ответ 18 206 927. Однако, если вместо этого нам дадут число 18 206 927 и попросят найти простые множители (два числа, которые перемножили, чтобы получить 18 206 927), это займет у нас гораздо больше времени. Если вы сомневаетесь в том, насколько трудно находить простые множители, то примите во внимание следующее. Мне понадобилось лишь десять секунд, чтобы образовать число 1 709 023, но у вас с калькулятором в руках, чтобы найти простые множители, это займет добрую часть дня.

Считается, что данная система асимметричной криптографии, известная как RSA, является одним из видов шифрования с открытым ключом. Чтобы понять, насколько надежна RSA, мы можем проверить ее с точки зрения Евы и попробовать прочесть сообщение, посланное Алисой Бобу. Для того чтобы зашифровать сообщение для Боба, Алиса должна отыскать его открытый ключ. Для создания своего открытого ключа Боб берет выбранные им самим простые числа, р_B и q_B, и перемножает их, получая N_B. Он хранит р_B и q_B в секрете, ибо они составляют его секретный ключ для дешифровывания, но при этом публикует N_V, которое равно 408 508 091. Так что Алиса подставляет открытый ключ Боба N_B в общую одностороннюю функцию шифрования, а затем зашифровывает свое сообщение ему. Когда приходит зашифрованное сообщение, Боб может обратить функцию и расшифровать его, используя значения р_в и q_B, которые составляют его секретный ключ. Между тем Ева сумела во время передачи сообщения перехватить его. Ее единственная надежда расшифровать сообщение — обратить одностороннюю функцию, а это возможно только в том случае, если она знает р_B и q_B. Боб держит рv и qv в секрете, но, как и всем остальным, Еве известно N_B, равное 408 508 091. Далее Ева пытается найти значения р_B и q_B путем подбора чисел, которые при перемножении дают 408 508 091 — процесс, известный как разложение на множители.