Астероидно-кометная опасность: вчера, сегодня, завтра - Шустов Борис - Страница 56

Согласно принципу Лежандра, искомые неизвестные поправки должны минимизировать величину

Необходимые условия минимума S как функции переменных ΔE⁰_i записываются в виде

Эти условия образуют систему из шести линейных уравнений относительно шести неизвестных ΔE⁰_i (i = 1…, 6). Например, первое из них записывается в виде

Остальные уравнения записываются аналогично.

Система из шести уравнений (7.3) относительно неизвестных ΔE⁰_i называется нормальной. Использование матричного исчисления позволяет представить нормальную систему и ее решение в компактном виде. Составим матрицу коэффициентов условных уравнений:

Обозначим также вектор-столбец с компонентами ΔE⁰_i как вектор X, а вектор-столбец правых частей с компонентами O_k — C_k как вектор L. В таком случае система условных уравнений запишется в виде

Нормальная система записывается в виде

где символ T означает транспонирование матрицы (замену строк столбцами и наоборот).

Симметричную матрицу нормальной системы B^TB обозначим буквой Q. Решение нормальной системы может быть найдено умножением обеих частей уравнения на матрицу

где символом Q^-1 обозначена матрица, обратная матрице Q (заметим, что матрица Q^-1 как обратная симметричной матрице, также является симметричной). Произведение обратной матрицы на саму матрицу дает единичную матрицу, вследствие чего решение записывается в виде

Складывая найденные поправки ΔE⁰_i с исходной системой параметров E⁰_i, находят исправленную систему. Поскольку при образовании системы условных уравнений мы пренебрегли высшими степенями поправок, то исправленная система элементов не обеспечивает минимального значения суммы квадратов остающихся невязок, хотя обычно уменьшает ее. Для достижения минимума процедуру дифференциального исправления системы элементов приходится повторять до тех пор, пока поправки к элементам не станут достаточно малыми. Найденное таким образом решение называют номинальным.

На практике используется большое число методов решения нормальной системы, в том числе и тот, который, согласно (7.4), основан на обращении матрицы Q, хотя его следует избегать в случае малости определителя матрицы. В теоретическом плане представление решения в виде (7.4) является наглядным и позволяет раскрыть ряд особенностей этого решения. К этому вопросу мы еще вернемся, но прежде рассмотрим вероятностный смысл решения системы условных уравнений методом МНК.

Интересующие нас особенности имеют место только в случае нормального закона распределения ошибок (закона Гаусса):

(e — основание натурального логарифма).

Центр распределения определяется значением элемента в номинальном решении, а дисперсии элементов определяются диагональными элементами матрицы Q^-1 — обратной матрицы нормальной системы. Иначе говоря, если обозначить среднеквадратичную ошибку элемента E_i как σ_i, то

где σ — средняя квадратичная величина остаточных уклонений:

n — число условных уравнений, m — число определяемых неизвестных, в нашем случае 6, Q^-1_ii — i-й диагональный элемент обратной матрицы нормальной системы.

Для нормального распределения ошибок элементов орбиты справедливы особенности нормального распределения, в частности то, что вероятность появления ошибки, превышающей утроенное значение среднеквадратичной ошибки элемента, меньше 0,003.

Когда мы говорим об ошибках элементов орбиты, то понимаем при этом возможные отличия элементов от тех значений, которые они имеют в номинальном решении. Таким образом, областью возможных значений для каждого элемента является E_i ± 3σ_i. Каждую возможную орбиту можно представить как точку шестимерного пространства, по осям которого откладываются значения элементов орбит. Рассмотрим малую окрестность некоторой точки этого пространства. Вероятность попадания орбиты в эту окрестность зависит от одновременного попадания шести элементов орбиты в соответствующие элементарные интервалы ΔE_i. Мы уже видели, что при нормальном распределении ошибок эти вероятности определяются формулами типа (7.5), т. е.

где под x_i следует понимать элемент E_i, p(x_i) — плотность вероятности распределения ошибок соответствующего элемента, σ_i — корень квадратный из дисперсии ошибок (среднеквадратичная ошибка i-го элемента).

Предположим ради простоты изложения, что случайные ошибки элементов E_i и E_j попарно независимы, т. е. вероятность попадания ошибки элемента E_i в некоторый интервал не зависит от ошибки элемента E_j. В этом случае ошибки всех элементов являются независимыми в совокупности. Плотность вероятности одновременного попадания шести элементов в достаточно малую окрестность точки (E₁…, E₆) в этом случае выражается как произведение плотностей вероятностей распределения ошибок отдельных элементов:

Каждый сомножитель в правой части последней формулы определяется формулой типа (7.5). Из этого вытекает, что плотность вероятности в точке r в случае шестимерного нормального распределения при сделанном предположении определяется формулой

Указанная плотность вероятности остается неизменной во всех точках пространства, где

При любом положительном значении постоянной это выражение представляет собой уравнение эллипсоида в осях, совпадающих по направлению с главными осями эллипсоида и имеющих начало в точке (x₁₀, x₂₀, x₃₀…, x₆₀) шестимерного пространства. Если представить, что в шестимерном пространстве элементов по осям прямоугольной системы координат с началом в точке, отвечающей номинальной орбите, отложены величины σ_i и представить себе шестимерный эллипсоид с полуосями σ_i, то плотность вероятности на таком эллипсоиде будет всюду одинаковой. То же самое будет справедливо и для любого другого подобного и подобным образом расположенного эллипсоида. Такие эллипсоиды называются эллипсоидами равных плотностей вероятностей.

По аналогии с одномерным случаем можно заключить, что вероятность попадания точки внутрь некоторого эллипсоида равна интегралу

где интегрирование распространяется на все пространство, ограниченное эллипсоидом. Если полуоси эллипсоида неограниченно увеличиваются, то интеграл по всему пространству равен единице. Если представить эллипсоид с полуосями, равными 3σ_i, то вероятность попадания точки в область пространства, ограниченную этим эллипсоидом, близка к единице (0,9973⁶). Такой эллипсоид будем называть доверительным.