Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике - Виолант-и-Хольц Альберт - Страница 30

На этом этапе Уайлс в поисках вдохновения обратился к теории Галуа, названной в честь ее создателя — безвременно ушедшего из жизни французского математика Эвариста Галуа (1811–1832). Галуа, подлинно трагическая фигура в истории математики, высказал гениальную догадку о перестановках возможных решений (корней) многочлена, которая позднее была развита Огюстеном Луи Коши и Артуром Кэли. Например, многочлен второй степени

х² — 4х + 1 = 0

имеет корни х₁ = 2 + √3 и х₂ = 2 — √3.

Оба корня удовлетворяют следующим уравнениям:

x₁ + x₂ = 4

x₁x₂ = 1

Оба уравнения будут по-прежнему верны, если мы поменяем местами х₁ и х₂

x₂ + x₁ = 4

x₂x₁ = 1

Галуа подробно изучил функции, инвариантные по отношению к перестановке корней, и определил так называемую группу Галуа для уравнений. Например, группа Галуа для многочлена х² — 4х + 1 = 0 состоит из двух перестановок: неизменной (в результате которой корни остаются «на своих местах») и транспозиции (показанной в примере).

Эндрю Уайлс в 2000 году.

_{(фотография: С. Моззочи, Принстон, Нью-Джерси)}

Свойства групп Галуа — очень мощный инструмент, который позволяет охарактеризовать чрезвычайно сложные структуры. Уайлс использовал их, чтобы преодолеть первое препятствие на пути к доказательству. В частности, он определил эллиптические уравнения в терминах представлений Галуа и доказал, что их можно ассоциировать с некоторыми характерными элементами модулярных форм. Таким образом, Уайлс переформулировал задачу о подсчете, использовав более «податливые» понятия. Этот первый, но очень важный шаг сам по себе уже заслуживал признания со стороны математического сообщества. Но это был всего лишь первый шаг, а Уайлс потратил на него два года непрерывного труда.

Уайлс работал в полном одиночестве, откуда же он брал силы, чтобы не отступаться от задачи? По его словам, «когда ты полностью сосредоточен, лучший способ расслабиться — это поговорить с детьми. Им не интересна теорема Ферма, по крайней мере, в столь нежном возрасте. Они хотят слушать только сказки». Остается лишь добавить, что Уайлсу повезло: его дети не проявили такого интереса к теореме Ферма, как он сам, когда был ребенком.

* * *

Портрет Эвариста Галуа в возрасте 15 лет сделан с натуры его одноклассником.

* * *

Новый метод подсчета, придуманный Уайлсом, также содержал интересные аналогии с темой его докторской диссертации — теорией Ивасавы. Наступил 1988 год, и Уайлс чувствовал, что другие математики уже дышат ему в затылок. Можно представить, как он побледнел, когда 8 марта прочитал на первых страницах газет, что последнюю теорему Ферма доказал японец по имени Иоичи Мияока. Хотя подробности доказательства не публиковались, некоторые специалисты во всеуслышание заявили, что общая схема представленного доказательства верна. Однако спустя несколько месяцев стало ясно, что доказательство содержало серьезную ошибку. В замке по-прежнему было темно. Призрак Ферма вновь улыбнулся, и Уайлс — вместе с ним.

* * *

Роберт Ленглендс на 61-й годовщине математика Пьера Делиня в Принстоне, которая отмечалась в 2006 году.

_{(фотография: С. Моззочи, Принстон, Нью-Джерси)}

* * *

Однако, к разочарованию Уайлса, теория Ивасавы оказалась не столь полезной, как он рассчитывал. В его словах ясно читается разочарование:

«Я искренне верил, что иду по верному пути, но это не означало, что я мог бы достичь цели. Возможно, что нужные методы были бы… найдены в ближайшие сто лет. Поэтому, даже если бы я был на правильном пути, могло случиться так, что я жил не в том веке».

После пяти лет затворничества Уайлс решил немного развеяться и восстановить связь с бывшими коллегами, среди которых был и его руководитель, Джон Коутс. Он похвально отзывался о работе одного из своих учеников, Матиаса Флаха, — тот, используя результаты российского математика Виктора Колывагина, разработал мощный инструмент, который мог применяться для укрощения неподдающихся эллиптических уравнений. По словам Уайлса, казалось, что этот инструмент был «создан специально». Требовалось лишь расширить частичные результаты Колывагина — Флаха, чтобы охватить все случаи теоремы Ферма, и Уайлс принялся за дело с новой силой. После нескольких месяцев упорного труда, казалось, новая тактика начала приносить желаемые плоды, но Уайлса не покидали сомнения. Сложное доказательство основывалось на недавно созданном методе, о способах применения которого все еще велись споры. Пришло время посвятить других в секрет Уайлса и организовать небольшой заговор.

Помощником и осведомителем Уайлс выбрал своего сокурсника, эксперта в той области алгебры, которую использовали Флах и Колывагин. Ник Кац так вспоминает о моменте, когда Уайлс раскрыл ему суть проекта, над которым работал последние шесть лет: «Был январь 1993 года. Эндрю пришел ко мне во время вечернего чая и попросил зайти в его кабинет, чтобы обсудить один вопрос. Я не имел никакого представления, о чем могла пойти речь. Я зашел в его кабинет и закрыл за собой дверь. Он сказал, что близок к тому, чтобы доказать гипотезу Таниямы — Симуры. Я был изумлен. Это было что-то невероятное».