Нестандартные задачи по математике в 4 классе - Левитас Герман Григорьевич - Страница 15

Тогда автоматически заполняются результаты Борисова и Андреева:

Ответ: Андреев выиграл остальные две партии, Борисов выиграл у Власова и Гордеева, Власов выиграл у Гордеева.

Задача 161. Сколько оборотов сделает зубчатое колесо с 16 зубцами, если сцепленное с ним колесо с 40 зубцами сделает 32 оборота?

За полный оборот большого колеса через точку сцепления А пройдет 40 зубцов, а за 32 его оборота — 40 · 32 = 1280 зубцов. Но это значит, что малое колесо сделает 1280 : 16 оборотов.

Ответ: 80 оборотов.

Задача 162. Поезд длиной 750 м шел по мосту 2 мин. Какова скорость поезда, если длина моста 1 км?

Паровоз продвинулся за 2 минуты на 1750 м. Разделив этот путь на время движения, получим скорость.

Ответ: 875 м/мин.

Задача 163. В этом примере пропущены два одинаковых числа. Какое число пропущено?

(385 — __ + 8) · (__: 385 + 9).

В первой скобке пропущенное число должно быть не больше 385, а во второй скобке — не меньше 385.

Ответ: 385.

Задача 164. Коля ездит из дома в школу на трамвае. От дома до школы ходят трамваи двух маршрутов: № 1 и № 2. Каждый из них приходит на остановку около дома Коли через каждые 4 минуты. Оказалось, что Коля гораздо чаще попадает на трамвай № 1, чем на № 2. Почему это возможно?

Это может быть, если разрыв между прибытием трамваев на остановку не одинаков.

Например, представим себе такое расписание

При таком расписании Коля будет чаще попадать на трамвай № 1.

Задача 165. Поезд длиной 750 м обгоняет поезд длиной 1 км за 10 мин. Какова скорость короткого поезда, если скорость длинного 60 км/час?

За 10 минут произошло следующее. Паровоз короткого поезда проехал мимо длинного поезда, а затем весь короткий поезд проехал мимо паровоза длинного поезда, то есть паровоз короткого поезда проехал суммарную длину обоих поездов со скоростью, равной разности скоростей этих поездов. Поэтому можно вначале найти суммарную длину обоих поездов, затем разделить ее на время (на 10 минут), а затем к полученной скорости прибавить скорость второго поезда.

Ответ: 70500 м/ч или 70,5 км/ч.

Задача 166. У Васи по математике вдвое больше пятерок, чем четверок. Сколько у него четверок и пятерок, если всего их 9?

Ответ: 3 четверки и 6 пятерок.

Задача 167. Поезд длиной 750 м проходит мимо такого же встречного поезда за 1 мин. Какова скорость первого поезда, если скорость второго 60 км/час?

За 1 минуту происходит следующее. Паровоз первого поезда проезжает мимо второго поезда, а затем весь первый поезд проезжает мимо паровоза второго поезда, то есть паровоз первого поезда проезжает суммарную длину обоих поездов со скоростью, равной разности скоростей этих поездов. Поэтому можно вначале найти суммарную длину обоих поездов (1500 м), затем разделить ее на время (на 1 минуту), а затем от полученной скорости 1500 м/мин отнять скорость второго поезда (60 км/час, или 1000 м/мин).

Ответ: 500 м/мин.

Задача 168. В этом примере пропущены два одинаковых числа. Какое число пропущено?

(742 :__ + 17) · (__ — 742 + 6).

В первой скобке пропущенное число должно быть не больше 742, а во второй скобке — не меньше 742.

Ответ: 742.

Задача 169. На острове живут правдивые и лжецы. Как одним вопросом у первого встреченного островитянина узнать, ведет ли данная дорога в город?

Ответ: Вопрос: «Что бы Вы мне ответили, если бы я спросил Вас, ведет ли эта дорога в город?»

Задача 170. В турнире играли 6 шахматистов, по одной партии каждый с каждым. Андреев набрал 4 очка и занял 1 место, Бунин занял 2 место, Воронов и Гусев разделили 3–4 место, Дымов занял 5 место, а Егоров, занявший 6-е место, выиграл у Гусева. 5 партий турнира закончились вничью, причем Бунин сыграл вничью только один раз. Восстановить результаты всех партий.

Это задача с длинным решением. Ее можно предложить лишь немногим школьникам. Тем не менее некоторым из них она может оказаться интересной. Построим турнирную таблицу:

Всего в турнире сыграно 6 · 5 : 2 = 15 партий, значит, всеми игроками набрано 15 очков. Так как Андреев, занявший 1 место, имеет 4 очка, то остальные игроки могли набрать следующее число очков:

Бунин не более 3,5, Воронов и Гусев не более, чем по 3, Дымов не более 2,5, Егоров не более 2. Но именно такого числа очков они набрать не могли, так как 4 + 3,5 + 3 + 3 + 2,5 + 2 = 18, что на 3 очка больше, чем было. Займемся Егоровым. Мог ли он, кроме выигрыша у Гусева, набрать еще хоть пол-очка? Если это так, то у него не менее 1,5 очков, у Дымова не менее 2, у Гусева и Воронова не менее, чем по 2,5, у Бунина не менее 3, и в сумме — не менее 15,5 очков, что невозможно. Итак, Егоров все остальные партии проиграл:

Теперь займемся Буниным. Известно, что он сыграл только одну партию вничью, то есть набрал не целое число очков: либо 3,5, либо 2,5 (не 1,5, так как тогда он сосед Егорова). Если Бунин набрал 2,5 очка, то Воронов и Гусев набрали по 2 очка, а Дымов 1,5 очка. В сумме получается 12 очков, что недостаточно. Значит, Бунин набрал 3,5 очка:

Заметим теперь, что сумма очков — число целое, а так как Воронов и Гусев вместе набрали целое число очков (у них поровну), то Дымов набрал не целое число очков. Это может быть либо 1,5, либо 2,5 очка. Если 1,5, то Воронов и Гусев набрали по 2,5 очка. А если у Дымова 2,5 очка, то Воронову и Гусеву остается одно очко на двоих, что невозможно. Итак, имеем:

Осталось понять, как закончились партии. Обратим внимание на то, что, по условию, Бунин сыграл вничью только один раз, а из таблицы теперь видно, что и Дымов сыграл вничью только один раз, а остальные партии проиграл. Кроме того, известно, что вничью окончилось 5 партий в турнире. Если Бунин сыграл вничью с Дымовым, то остальных ничейных партий четыре. Рассмотрим этот случай.

Воронов сыграл еще раз вничью, а остальные партии проиграл. Он не мог сыграть вничью с Буниным, так как Бунин сыграл вничью всего одну партию. Значит, Бунину Воронов проиграл:

Осталось установить результаты пяти партий, из которых 4 — ничьи, и только одна результативная. Ясно, что это — выигрыш Андреева, так как если бы он ни одной партии больше не выиграл, то не набрал бы 4 очка. Итак, все партии, в которых не участвует Андреев, — ничейные: