Трехмерный мир. Евклид. Геометрия - Коллектив авторов - Страница 22

АВ/ΔΓ = (m х LM)/(n х LM) = (m х (ΔLMN))/(n х (ΔLMN)) =  ΔABC/ΔAГ.

РИС. 3

РИС. 4

Но если отрезки АВ и ΓΔ взяты произвольно, мы не можем знать, соизмеримы ли они. Действительно, любой отрезок имеет гораздо больше несоизмеримых ему отрезков, чем соизмеримых. Таким образом, доказательство, изложенное выше, является не общим, а, напротив, сугубо частным случаем. Рассмотрим теперь общее доказательство. Оно будет основано на следующей идее: если метод танграма нельзя применить внутри фигуры, это не значит, что его нельзя применить вне ее. Вместо того чтобы строить общий треугольник и помещать его в каждый из заданных, построим отрезки, равные каждому основанию, и соединим получившиеся точки с вершиной, как показано на рисунке 3. Таким образом, мы получим треугольники, кратные тип раз заданным:

ΔΑ"CΒ = m x (ΔΑCΒ), ΔΝ'" РМ = n x (ΔΝΡΜ).

Не нужно верить никаким предсказаниям, сделанным по гороскопам, основанным на дате рождения. Влияние звезд настолько трудно рассчитать, что на Земле нет никого, кто мог бы это сделать.

Евдокс

Теперь мы должны только убедиться, что из двух треугольников, заключенных между двумя параллельными прямыми (то есть одинаковой высоты), большая площадь — у того, у которого большее основание. Ответ, разумеется, утвердительный (см. рисунок 4). Основание АВ меньше основания ΓΔ. Следовательно, мы можем отложить АВ на ΓΔ (в «Началах» не объясняется понятие большего и меньшего, но интуитивно всегда используется верно: большее — то, что содержит часть, равную меньшему) и построить треугольник, равный АСВ, внутри ΓΕΔ.

Значит, площадь треугольника с большим основанием больше. Следовательно, если

то

Теперь, применив определение Евдокса, мы получаем, что

АВ/ΓΔ = ΔАСВ/ΔΓΕΔ,

Ч.Т.Д.

В предыдущем примере мы установили равенство соотношений между парами величин различных видов: прямых в первом случае и площадей — во втором. Отсюда вытекает необходимость уточнения, которое содержится в определении 5 книги 5. Благодаря этим определениям Евклид располагал весьма полезным инструментом для получения конкретных геометрических результатов в области прямых и плоских многосторонних фигур. Эти результаты составляют основное содержание книги VI, в которой Евклид излагает в том числе предложения, указанные в следующей таблице. Это геометрическое ядро теории отношений.

Применение теории отношений в геометрии

Предложение

Название

Содержание

2

Теорема Фалеса

Если в треугольнике параллельно одной из сторон проведена некоторая прямая, то она рассечет стороны треугольника пропорционально.

19

Теорема сторон

Подобные треугольники находятся друг к другу в двойном отношении соответственных сторон.

5, 6 и 7

Теоремы площадей

Критерий пропорциональности трех сторон; критерий пропорциональности двух сторон и критерий равенства одного угла.

11 и 13

Критерий подобия треугольников

Треугольники могут быть построены, исходя из двух данных прямых.

12

Третья и средняя пропорциональная (теорема высот прямоугольных треугольников)

Треугольник может быть построен, исходя из трех данных прямых.

8 (вывод)

Четвертая пропорциональная

Если в прямоугольном треугольнике из прямого угла к основанию проведен перпендикуляр, то треугольники при перпендикуляре подобны и целому, и между собой.

МЕТОД ИСЧЕРПЫВАНИЯ

У теории отношений открылся огромный — и неожиданный, что говорит о гениальности Евдокса,— математический потенциал для определения площадей и объемов. Для этого метод танграма должен был применяться до бесконечности, что невозможно из-за наложенного Аристотелем ограничения. Следовательно, необходимо прибегать к двойному методу доведения до абсурда — в XVII веке его назвали методом исчерпывания. Евклид использовал его для доказательства следующих предложений.

Книга XII, предложение 2. Круги относятся друг к другу как квадраты их диаметров.

S₁/S₂ - d₁²/d₂²

Книга XII, предложение 7. Всякая призма, имеющая треугольное основание, разделяется на три равные друг другу пирамиды, имеющие треугольные основания.

P₁/П₁ = 1/3

Книга XII, предложение 18. Сферы находятся друг к другу в тройном отношении собственных диаметров.

Е₁/Е₁ = d₁³/d₂³

АРХИМЕД И КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ

Рассмотрим, как Архимед использовал метод исчерпывания для решения задачи о квадратуре параболы. В некотором смысле оно похоже на решение задачи о квадратуре круга, предложенное Евклидом. Его основная цель — вписать в площадь параболы треугольники и сложить их площади, уже известные нам. Архимед писал:

Квадратура параболы. Площадь сегмента параболы относится к площади вписанного в нее треугольника как один к трем.

Рассмотрим треугольник АСВ, вписанный в сегмент параболы ADCEBA, где вершина С — точка, через которую проходит касательная к параболе, параллельная хорде АВ. В этом случае Архимед утверждал, что площадь S (ADCEBA) равна 4/3 площади треугольника Т = АСВ. То есть

S(ADCEBA) = 4/3 x S(ΔABC) = 4/3 х Т,

Теперь мы должны вписать в оставшиеся сегменты параболы треугольники Т₁ = ADC, Т₂ = ВЕС и сегменты ADA, DCD, СЕС, ВЕВ и так до бесконечности, поскольку величины делимы до бесконечности. Все это бесконечное множество треугольников покрывает площадь, равную трети треугольника Т=АСВ. Тем не менее прибегать к бесконечному необязательно, так как мы можем воспользоваться методом исчерпывания. Можно убедиться с помощью танграма, что треугольники Т₁ = ADC и Т₂ = ВЕС «покрывают соответственно больше половины сегментов параболы ADCA и ВЕСВ». Очевидно, что площадь треугольника T₁=ADC равна половине прямоугольника АН. При этом сегмент параболы ADCEBA меньше этого прямоугольника.

Следовательно, Т₁ = ADC покрывает больше половины сегмента ADCEBA. То же самое происходит с Т₁ = ADC, сегментом параболы СЕВС и прямоугольником CF. Такой метод рассуждений справедлив последовательно для каждого остающегося сегмента параболы. Важно обратить внимание на то, что хотя в данном случае мы применили его к параболе, он работает и для других кривых, включая окружности.

Однако полностью потенциал этого метода раскрыл Архимед, самый выдающийся математик античности.

Евклид дает следующее определение методу исчерпывания:

Книга X, предложение 1. Для двух заданных неравных величину если от большей отнимается больше половины и от остатка больше половины и это делается постоянно, то останется некоторая величина, которая будет меньше заданной меньшей величины.