Трехмерный мир. Евклид. Геометрия - Коллектив авторов - Страница 27

95

97

101

103

Начиная с 5 уберем пятые числа через каждые пять и получим следующее.

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

49

53

59

61

67

71

73

77

79

83

89

91

97

101

103

И так далее. Вот список простых чисел до тысячи.

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

73

79

83

89

97

101

103

107

109

113

127

131

137

139

149

151

157

163

167

173

179

181

191

193

197

199

211

223

227

229

233

239

241

251

257

263

269

271

277

281

283

293

307

311

313

317

331

337

347

349

353

359

367

373

379

383

389

397

401

409

419

421

431

433

439

443

449

457

461

463

467

479

487

491

499

503

509

521

523

541

547

557

563

569

571

577

587

593

599

601

607

613

617

619

631

641

643

647

653

659

661

673

677

683

691

701

709

719

727

733

739

743

751

757

761

769

773

787

797

809

811

821

823

827

829

839

853

857

859

863

877

881

883

887

907

911

919

929

937

941

947

953

967

971

977

983

991

997

ПИФАГОРОВА ТРОЙКА

Последняя задача, которую стоит разобрать, — это алгоритм получения пифагоровых троек — трех натуральных чисел, подтверждающих теорему Пифагора, например 3, 4, 5; 5, 12, 13 и так далее, то есть таких чисел a, b и с, при которых а² + b² = с².

Возможно, в Древнем Вавилоне знали метод нахождения пифагоровых троек, о чем свидетельствует вавилонская глиняная табличка, которую называют Plimpton 322. В ней содержится несколько троек, выраженных в шестидесятых долях. Пифагору приписывается авторство метода, позволяющего получить эти числа, основанного на гномоне квадратных чисел. Квадратное число — это то, которое можно выразить в виде квадрата (см. рисунок). Следовательно, мы имеем n^² + (2n + 1) = (n+1)^². Для того чтобы составить пифагорову тройку, в которой катет и гипотенуза — два последовательных числа, гномон тоже должен быть квадратом, то есть 2n + 1 = k^², где k — нечетное число. Следовательно,

n = (k² - 1)/2, k нечетное.

Так можно получить тройки n = (k² - 1)/2, k, n +1 = (k² + 1)/2,

где k — нечетное число, образующее следующие таблицы.

Последовательность квадратных чисел 1, 4, 9,16 (n - 1)^², n^². Чтобы перейти от c_n = n^² к c_{n + 1} = (n + 1)^², нужно добавить гномон, равный 2n +1. То есть между ними всегда будет нечетное число.

a = k, где k нечетное

3

5

7

9

11

13

15

...

b = n = n = (k² - 1)/2

4

12

24

40

60

84

112

...

c = n + 1 = n = (k² + 1)/2

5

13

25

41

61

85

113

...

Таким образом можно получить бесконечное множество троек, но не все: например, здесь не хватает тройки 8, 15, 17, в которой разница между катетом и гипотенузой равна двум единицам.

Платону приписывают обобщение этого метода Пифагора. Необходимо перейти от (n - 1)^² к (n + 1)^². Для этого надо сложить два гномона: 2n - 1, позволяющий перейти от (n - 1)^² к n^², и 2n + 1, позволяющий перейти от n^² к (n + 1)^². Всего надо добавить 4n. То есть (n - 1)^² + 4n = (n + 1)^². Значит, n должно быть квадратным числом: n = k^². Так мы получаем тройки k^² - 1, 2k и k^² + 1. При k = 4 мы получим уже упомянутую тройку 8,15,17. Запишем это в виде таблицы.

k

2

3

4

5

6

7

8

a = k²- 1

3

8

15

24

35

48

63

b = 2k

4

6

8

10

12

14

16

с = k² +1

5

10

17

26

37

50

65

Приведенные таблицы различаются: в первой представлены простые тройки, то есть такие, у которых нет общего делителя; во второй цифры в столбцах с нечетным к можно разделить на 2, и мы получим некоторые значения первой таблицы. Можно сказать, что первая таблица включена во вторую. Но существует ли алгоритм, позволяющий получить все возможные пифагоровы тройки? Ответ на этот вопрос положительный, и дает его сам Евклид в лемме 1 книги X:

Существуют два квадратных числа, которые вместе образуют еще один квадрат.

Не вдаваясь в подробности, скажем, что Евклид использовал алгоритм α = λ^²-μ^², b = 2λμ, c = λ^² + μ^², где λ и μ — взаимно простые числа, имеющие разную четность. Это условие необходимо соблюдать для того, чтобы тройки не повторялись и все составляющие их числа были простыми, без общих делителей. Действительно, нас интересуют только простые тройки, так как очевидно, что при любом натуральном числе k 3k, 4k, 5k тоже будут натуральными, ведь 3, 4 и 5 — натуральные. Все вышесказанное справедливо для любой пифагоровой тройки a, b, c.

ГЛАВА 8

Распространение «Начал»

Самым убедительным доказательством исторического значения труда Евклида являются многочисленные его копии и переиздания. Ни одно другое научное произведение античности не может похвастаться таким количеством переводов, изданий и комментариев.