Изложение системы мира - Лаплас Пьер Симон - Страница 45

Книга четвёртая О ТЕОРИИ ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ

Выдумки мнений день уничтожает,

А суждения природы подтверждает.

Цицерон. О природе богов.

Теперь, когда в предыдущих книгах изложены законы небесных движений и действий движущих сил, остаётся их сравнить, чтобы узнать силы, движущие тела солнечной системы, причём без каких-либо гипотез, а путём последовательных геометрических рассуждений прийти к принципу всемирного тяготения, из которого эти законы вытекают. Именно в небесном пространстве законы механики наблюдаются с наибольшей точностью. На Земле их результаты осложняет столько обстоятельств, что эти законы трудно распознать и ещё труднее подчинить вычислениям. Но движения тел солнечной системы, разделённых громадными расстояниями и подверженных действию главной силы, влияние которой легко вычислить, искажаются только такими малыми силами, что оказалось возможным в основных формулах охватить все изменения в этой системе, уже происшедшие и те, которые должны произойти с течением времени. Здесь нет места неясным причинам, не поддающимся анализу и изменяемым по прихоти воображения, чтобы объяснить явление. Закон всемирного тяготения имеет то преимущество, что поддаётся вычислениям, и, сравнивая результаты этих вычислений с наблюдениями, можно получить наиболее верный способ подтверждения его существования. Мы увидим, что этот великий закон природы представляет все небесные явления, вплоть до самых малых подробностей; что нет ни одного самого малого неравенства, которое не вытекало бы с удивительной точностью из этого закона, и что часто он опережал наблюдения, открывая нам причины многих странных движений, которые хотя и предвиделись астрономами, но из-за своей сложности и исключительной медленности могли бы быть определены посредством одних только наблюдений лишь через многие века. С помощью этого закона эмпиризм был полностью изгнан из астрономии, являющейся теперь великой проблемой механики, для которой элементы движения светил, их фигуры и их массы — независимые и единственно необходимые данные, которые эта наука должна получать из наблюдений. Потребовалась самая изощрённая геометрия для разрешения этой проблемы и для вывода теорий различных явлений, представляемых нам небесами. Я их собрал в моей «Небесной механике». Здесь я ограничусь лишь изложением главных положений этого труда, отмечая путь, по которому следовали геометры, чтобы их получить, и попытаюсь сделать понятными их доводы, насколько это возможно без применения математического анализа.

Глава I О ПРИНЦИПЕ ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ

Среди явлений, наблюдаемых в солнечной системе, эллиптическое движение планет и комет кажется наиболее пригодным, чтобы привести нас к общему закону сил, которые ими движут. Наблюдения показали нам, что площади, описываемые вокруг Солнца радиусами-векторами планет и комет, пропорциональны времени; а в предыдущей книге мы видели, что для этого нужно, чтобы сила, отклоняющая непрерывно каждое из этих тел от прямого пути, была направлена постоянно к началу радиусов-векторов, и, следовательно, стремление планет и комет к Солнцу является необходимым следствием пропорциональности площадей и времени, затраченному на описание их радиусами-векторами.

Чтобы определить закон этого стремления, предположим, что планеты движутся по круговым орбитам; это мало отличается от истины. Тогда квадраты их истинных скоростей пропорциональны квадратам радиусов этих орбит, разделённым на квадраты времени обращения. Но, по законам Кеплера, квадраты этих скоростей относятся между собой как кубы тех же радиусов. Поэтому квадраты скоростей обратно пропорциональны этим радиусам. Раньше мы видели, что центробежные силы многих тел, движущихся по окружностям, относятся между собой как квадраты скоростей, разделённые на радиусы описанных окружностей. Поэтому стремление планет к Солнцу обратно пропорционально квадратам радиусов их орбит, предполагаемых круговыми. Эта гипотеза, правда, не вполне строга, но, поскольку постоянное отношение квадратов времён обращения планет к кубам больших осей их орбит не зависит от эксцентриситета, естественно думать, что оно существует и в случае круговых орбит. Таким образом, закон, по которому тела притягиваются к Солнцу обратно пропорционально квадратам расстояний от него, ясно указывается этим отношением.

Аналогия заставляет нас считать, что этот закон, распространяющийся на все планеты, в равной степени имеет место и для одной и той же планеты на её разных удалениях от Солнца. Её эллиптическое движение не оставляет никаких сомнений в этом отношении. Для доказательства проследим это движение, начиная от выхода планеты из перигелия. В это время её скорость максимальна, и она стремится удалиться от Солнца, преодолевая силу его тяготения; её радиус-вектор увеличивается и образует с направлением её движения тупые углы. Сила тяготения, направленная к Солнцу и разложенная по этому направлению, всё более и более уменьшает скорость планеты, пока она не достигнет афелия. В этой точке радиус-вектор снова становится перпендикулярным к кривой, скорость минимальна, и, так как стремление удалиться от Солнца меньше, чем сила его притяжения, планета к нему приближается, описывая вторую половину своего эллипса. На этой части пути сила тяготения к Солнцу увеличивает её скорость, в то время как раньше она её уменьшала. Планета приходит в перигелий со своей первоначальной скоростью и начинает второе обращение, подобное первому. Поскольку в перигелии и в афелии кривизна эллипса одинакова, оскулирующие радиусы одинаковы, следовательно, и центробежные силы в этих двух точках относятся как квадраты скоростей. Так как секторы, описанные в одинаковые элементы времени, равны, скорости в перигелии и в афелии обратно пропорциональны соответствующим расстояниям планеты от Солнца. Поэтому квадраты этих скоростей обратно пропорциональны квадратам тех же расстояний, а так как в перигелии и в афелии центробежные силы в оскулирующих окружностях, очевидно, равны, силе тяготения планеты к Солнцу, эти силы тяготения обратно пропорциональны квадратам расстояний до этого светила.

Таким образом, теоремы Гюйгенса о центробежной силе были достаточны, чтобы узнать закон, описывающий стремление планет к Солнцу, так как очень вероятно, что закон, действительный для всех планет и подтверждающийся для каждой из них в перигелии и в афелии, распространяется на все точки планетных орбит и вообще на все расстояния от Солнца. Но чтобы установить его совершенно неопровержимым образом, было необходимо получить выражение силы, которая, будучи направленной в фокус эллипса, заставляла бы тело описывать эту кривую. Ньютон нашёл, что, действительно, эта сила обратно пропорциональна квадрату радиуса-вектора. Надо было ещё показать, что сила тяготения к Солнцу не изменяется от одной планеты к другой иначе, чем в зависимости от расстояния до этого светила. Этот великий геометр показал, что это следует из закона пропорциональности квадратов времён обращения кубам больших осей орбит. Если предположить, что все планеты находятся в покое на одинаковых расстояниях от Солнца и предоставлены силам тяготения, направленным к его центру, они бы опустились за равное время на равные расстояния. Этот результат следует распространить и на кометы, хотя большие оси их орбит и неизвестны, так как во второй книге было показано, что величины площадей, описанных их радиусами-векторами, подчинены действию закона пропорциональности квадратов времён их обращения кубам этих осей.

Анализ, который в своих обобщениях охватывает всё, что может вытекать из данного закона, показывает нам, что не только эллипс, но и все конические сечения могут быть описаны под влиянием силы, удерживающей планеты на своих орбитах. Поэтому комета может двигаться по гиперболе. Но тогда она была бы видимой только один раз и после появления удалилась бы за пределы солнечной системы, а затем приблизилась бы к новым солнцам, чтобы снова удалиться от них, пробегая различные системы, рассеянные в необъятности небес. Имея в виду бесконечное разнообразие природы, весьма вероятно, что существуют и такие светила. Их появление должно быть очень редким, и мы гораздо чаще наблюдаем кометы, движущиеся по замкнутым орбитам и возвращающиеся через более или менее продолжительное время в области неба, близкие к Солнцу.