Природа описывается формулами. Галилей. Научный метод - Коллектив авторов - Страница 21

Утверждения Архимеда о весе и выталкивающей силе были распространены на все тела, не только на погруженные в воду. Соответственно, вес каждого тела мог меняться в зависимости от сопротивления окружающей среды (Архимед констатировал, что выталкивающая сила меняет вес погруженных тел), и необходимо было иметь в виду разницу между весом и сопротивлением (см. приложение «Атмосфера и трение»).

Изначально Галилей придерживался представлений Аристотеля, полагавшего, что тела падают с постоянной скоростью. Таким образом, скорость пропорциональна разнице между удельным весом тела (Р) и сопротивлением среды (Я, удельный вес воздуха), что сегодня записывается как:

v = k(P-R),

где k — коэффициент пропорциональности. В вакууме сопротивления нет, следовательно, скорость тела пропорциональна его удельному весу. Это уравнение совместимо с понятием вакуума (не существующего в аристотелевской Вселенной). Именно в вакууме тело двигается со своей собственной скоростью, не подверженной сопротивлению среды.

Несмотря на новаторский подход, Галилей продолжал думать, что при свободном падении тела двигаются без ускорения. По его мнению, если ускорение и существовало, то оно возникало только в момент начала движения. Затем скорость становилась постоянной и пропорциональной разнице между удельным весом и сопротивлением среды. Со временем Галилей изменил свое мнение.

УДЕЛЬНЫЙ ВЕС И ПЛОТНОСТЬ

Основываясь на трудах Архимеда, Галилей связал удельный вес тел с их скоростью в свободном падении. Архимед определял удельный вес как вес тела, поделенный на его объем. Погружая предметы в жидкость, он пришел к выводу, что когда удельный вес твердого тела равен удельному весу жидкости, то тело погружается в воду, не касаясь при этом дна, а затем его поверхность поднимается над водой. Если же удельный вес тела больше веса жидкости, то количество вытолкнутой им воды равно его весу. Таким образом, Архимед определил, что существует выталкивающая сила (Е), которая действует на погруженное тело и направляет его вверх, на поверхность, и что эта сила равна разнице между весом вытесненной жидкости и весом погруженного тела.

Плотность (р) тела определяется как отношение массы (т) тела к его объему (V). Математически можно записать так:

p=m/V

Удельный вес (γ), в свою очередь, определяется как отношение веса (Р) к объему (V):

T=P/V

Поскольку вес равен массе, помноженной на ускорение свободного падения, мы получаем следующее равенство:

T=P/V=mg/V=pg

Как мы видим, в то время как плотность — постоянная величина в любой точке Вселенной, удельный вес пропорционален плотности и зависит от ускорения свободного падения (на уровне моря он будет больше, чем на вершине горы, а на более тяжелых планетах его значение будет больше, чем на легких).

КИНЕМАТИКА

В сочинении «Беседы и математические доказательства...», написанном под арестом, когда Галилей был уже стар, перечисляются основные открытия и размышления, сделанные ученым на протяжении всей жизни. Работа стала фундаментом, на котором Ньютон развивал свои идеи, сегодня считающиеся классическими. В книге описано равномерное движение, равномерно ускоренное движение и движение бросаемых тел, или параболическая траектория снарядов.

РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ

В первой и самой короткой части своей книги Галилей выявляет связь между пройденным расстоянием (s) и затраченным временем (t), которая определяет равномерное прямолинейное движение. Записанная при помощи современных математических символов, эта зависимость выглядит следующим образом:

S=v • t

РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ

Момент, когда космонавт Дэвид Скотт кидает молоток и перо на поверхность Луны, чтобы проверить, упадут ли они одновременно.

Страница из «Бесед и математических доказательств...»— труда, в котором Галилей собрал все свои размышления о движении.

Фуко при помощи маятника демонстрирует вращение Земли (рисунок хранится в Политехническом институте Лондона).

Как мы видели в предыдущей главе, Галилей изначально полагал, что движение во время свободного падения было равномерным, а не ускоренным. Впоследствии он пришел к выводу, что оно является ускоренным, но при этом пропорциональным пройденному расстоянию. У нас нет доказательств того, что Галилей нашел правильное решение, а именно, что ускорение пропорционально квадрату времени, до 1604 года. В одном из своих писем к Сарпи, датируемом этим годом, он утверждает следующее:

«Размышляя о движении, [...] я покажу затем остальное, то есть что расстояние, пройденное во время естественного движения, дважды пропорционально времени [...]».

Здесь Галилей уже связывает пройденное расстояние с квадратом времени.

Во второй главе «Бесед...» ученый опять верно пишет, что в случае свободного падения скорость увеличивается в зависимости от времени. Он говорит об этом так:

«Мне кажется, что мы установили следующее определение равномерно ускоренного движения, о коем будем говорить далее: равномерно или единообразно ускоренное движение есть такое, при котором в равные промежутки времени приобретаются и равные моменты скорости».

Записав эту формулировку в современном виде, где v — скорость, а — ускорение, a t — время, мы получим:

v = a -t.

В случае если начальная скорость не равна нулю, в это уравнение необходимо ввести дополнительную величину v₀.

Галилей всегда исходит из сопротивления среды для вывода зависимости. Он объясняет, какие размышления привели его к такому выводу (и это показывает, что помимо своих опытов он опирался еще и на весьма изощренные умопостроения):

«Итак, когда я наблюдаю, как камень, падающий сверху и бывший до этого в состоянии покоя, по мере движения набирает скорость, почему бы мне не предположить, что это увеличение — следствие самой простой и самой очевидной зависимости? В таком случае, если мы посмотрим внимательно, то не найдем никакого другого более простого увеличения, чем то, которое происходит всегда одним и тем же образом».

СВОБОДНОЕ ПАДЕНИЕ ТЕЛ

Свободное падение было одной из главных физических задач, которые пришлось решать Галилею. Это было связано с огромными трудностями: чтобы экспериментально изучать этот тип движения, необходимо прибегнуть к технике моментальной фотографии, которой в то время не существовало. Предметы падают слишком быстро, и чтобы верно изучить их движение, нужны очень точные приборы. Галилей преодолел эту трудность интереснейшим образом: он использовал наклонные плоскости, способ, «уменьшающий притяжение», чтобы проделать опыт, поддающийся измерению. Угол наклона этих плоскостей можно было постоянно увеличивать, вплоть до вертикального положения.

Как мы говорили в первой главе, Галилей измерял время водяными часами. Он отметил положение шара на наклонной плоскости в равные промежутки времени. По этим отметкам он увидел, что расстояния, пройденные за эти промежутки, соотносились друг с другом так же, как нечетные числа: 1:3:5:7. Поскольку эти пропорции не менялись с увеличением угла наклона, они должны были сохраняться и при свободном падении.