Космические рубежи теории относительности - Кауфман Уильям - Страница 48

При описании геометрии пространства в окрестностях керровской чёрной дыры физики могут по-разному выбирать способы для описания положения точек в этой окрестности. Речь идет о выборе системы координат, т.е. попросту о выборе сетки, которая покрывает пространство. Например, физик может ввести прямоугольные декартовы координаты. Такие координаты, изображенные в левой стороне рис. 12.1, выглядят как линии на обычной миллиметровке. Положение точки задаётся в прямоугольных координатах посредством указания расстояний в направлениях вверх-вниз и налево-направо.

РИС. 12.1. Разные системы координат (слева - декартовы прямоугольные, в середине - полярные, справа - эллипсоидальные). Система координат - это всего лишь сетка, с помощью которой определяют положение точек в пространстве. Для вращающихся чёрных дыр удобно выбрать эллипсоидальные координаты (они получаются при вращении правого рисунка вокруг его оси симметрии). Такая система координат лучше всего отражает особенности геометрии решения Керра.

Однако было бы весьма неразумно, если бы для описания пространства вблизи чёрной дыры физик выбрал прямоугольные декартовы координаты. Такие координаты удобны, чтобы описывать тела, которые сами обладают прямыми углами, а чёрные дыры совсем не похожи на кирпичи. Прямоугольные координаты не отражают свойств симметрии чёрных дыр, и физик не получит с их помощью удобных для работы уравнений.

Второй возможный выбор состоит в использовании полярных (или сферических) координат. В центре рис. 12.1 показан пример подобных координат с центром в некоторой выбранной точке. Положение другой точки задаётся в этих координатах расстоянием от центра и величиной угла.

Сферические координаты (т.е. полярные, обобщенные на три измерения) предпочтительны во всех тех случаях, когда имеет место сферическая симметрия. Шварцшильдовские чёрные дыры и чёрные дыры Райснера-Нордстрёма обладают сферической симметрией. Поэтому сферические координаты идеально подходят для описания пространства решений Шварцшильда и Райснера-Нордстрёма, так что в сферических координатах уравнения принимают тогда особенно простой вид.

Если для сферически симметричных чёрных дыр сферические координаты превосходно себя оправдывают, то они оказываются уже не столь удобными в случае решения Керра. Вращающаяся чёрная дыра не является сферически симметричной. У неё существует привилегированное направление - ось вращения, вокруг которой она вращается. Чтобы работать с решением Керра, физикам необходимо выбрать такую систему координат, которая наиболее полно отражает геометрию вращающейся чёрной дыры; в противном случае придется иметь дело со слишком сложными уравнениями.

Имеется ещё одна система координат, как будто специально придуманная для решения Керра. Для случая двух измерений эти координаты называются эллиптическими и изображены справа на рис. 12.1. По сути дела, положения точек определяются здесь заданием расстояния от прямой и величиной некоторого угла. Кривые равного расстояния от прямой - это эллипсы, а кривые постоянного угла - гиперболы. Можно сказать, что эллиптические координаты - это полярные координаты, у которых центр (начало координат) вытянут в линию.

Чтобы прийти к системе трёхмерных координат, удобной для работы с решением Керра, представим себе, что мы вращаем эллиптические координаты вокруг оси симметрии. Эллипсы становятся тогда эллипсоидами вращения, а гиперболы - гиперболоидами. Концы отрезка линии, находившегося в центре, вычертят кольцо. У нас получилась трёхмерная система координат, которые называются сплющенными эллипсоидальными координатами; они изображены на рис. 12.2.

РИС. 12.2. Сплющенные эллипсоидальные координаты. Сплющенные эллипсоидальные координаты получаются, если вращать эллипсоидальные координаты на плоскости вокруг оси симметрии. Центр координатной системы - это кольцо. Такая осесимметричная система идеально подходит для описания решения Керра, поскольку керровская сингулярность кольцеобразна.

Сплющенные эллипсоидальные координаты идеально подходят для описания решения Керра. Эта система координат имеет осевую симметрию, как и сама вращающаяся чёрная дыра. В центре системы расположено кольцо, а керровская сингулярность - это тоже кольцо. Вот почему хитроумные физики пользуются в данном случае именно сплющенными эллипсоидальными координатами. Хотя мы здесь не будем проводить никаких вычислений, важно отметить основные свойства подобных координат. Если посмотреть на центральную часть таких координат вдоль оси вращения, то видно, что координатные линии равного расстояния (или соответствующие места в керровской чёрной дыре) представляют собой окружности. Глядя же вдоль экваториальной плоскости, мы замечаем, что эти координатные линии (как и керровская чёрная дыра в этом сечении) выглядят как эллипсы (рис. 12.2).

При описании в гл. 8 особенностей шварцшильдовской чёрной дыры было очень важно проследить пути световых лучей, как это сделано, например, на рис. 8.1. Когда лучи проходят вблизи чёрной дыры, они отклоняются в искривлённом пространстве-времени. Далее лучи света, приближающиеся к чёрной дыре точно на определённое расстояние, захватываются на круговую орбиту вокруг дыры. В результате возникает фотонная сфера - сферическая поверхность, образованная неустойчивыми круговыми орбитами световых лучей. Для иллюстрации на рис. 12.3 приведены траектории лучей света вблизи шварцшильдовской чёрной дыры.

РИС. 12.3. Орбиты света вокруг шварцшильдовской чёрной дыры. Невращающаяся чёрная дыра окружена сферой неустойчивых круговых орбит света. Всякий луч света, который приблизится к такой дыре точно на нужное расстояние, может быть захвачен на круговую орбиту на фотонной сфере.

Важно подчеркнуть то, что вокруг шварцшильдовской чёрной дыры имеется лишь единственная фотонная сфера. Существует только одно расстояние от горизонта событий, на котором могут проходить круговые орбиты световых лучей. К тому же лучи света движутся на фотонной сфере вокруг дыры под всевозможными углами, в том числе и по, и против часовой стрелки. Чтобы луч света оказался захваченным на подходе к чёрной дыре, он должен всего-навсего оказаться на нужном расстоянии от неё, однако не имеет значения направление его прихода. Угол, под которым свет подходит к дыре, не играет никакой роли. Дело в том, что шварцшильдовская дыра сферически симметрична, и для неё нет «верха» и «низа», «правой» и «левой» сторон. Единственное, что существенно, - это расстояние луча света от дыры, или прицельный параметр. Если прицельный параметр имеет нужную величину, то луч попадет на одну и ту же фотонную сферу, как и все иные лучи с тем же значением параметра, независимо от того, откуда они пришли.

Но если чёрная дыра вращается, всё меняется. В случае керровской чёрной дыры её ось вращения определяет особое Направление в пространстве, так что пространство-время оказывается искривлённым по-разному в зависимости от угла к оси вращения. Теперь геометрия пространства осесимметрична, а не сферически симметрична. Это усложнение приводит к радикальным изменениям характера круговых орбит лучей cвета.

РИС. 12.4. Орбиты вокруг света керровской чёрной дыры (в её экваториальной плоскости). Те лучи света, которые проходят далеко от вращающейся чёрной дыры, отклоняются лишь на малые углы. Луч света, приближающийся к дыре с требуемым значением прицельного параметра, может направиться по круговой орбите вокруг этой дыры. Но в экваториальной плоскости есть две неустойчивые круговые орбиты света. Внешняя орбита содержит лучи с обратным вращением, а внутренняя - с прямым.