Космические рубежи теории относительности - Кауфман Уильям - Страница 49

Чтобы разобраться в расположении орбит света вокруг керровской чёрной дыры, представим себе, что мы смотрим вдоль оси вращения в сторону чёрной дыры на лучи света, идущие к ней в экваториальной плоскости. Как видно из рис. 12.4, лучи света, проходящие вдали от дыры (т.е. при больших значениях прицельного параметра), отклоняются лишь немного. Когда прицельный параметр имеет строго определённое значение, луч света и в данном случае может пойти по круговой орбите вокруг чёрной дыры. Однако теперь появляются две возможности. Если луч света приближается к чёрной дыре с одной стороны, он может быть захвачен на неустойчивую круговую орбиту, по которой он обращается в направлении, противоположном направлению вращения дыры. Такая круговая орбита с обратным вращением расположена на большем расстоянии от чёрной дыры, чем фотонная сфера в шварцшильдовском случае.

Если же луч света приближается к чёрной дыре с другой стороны, он также может быть захвачен на неустойчивую круговую орбиту, но теперь луч обращается в том же направлении, в каком вращается сама дыра. Такая круговая орбита с прямым вращением расположена намного ближе к дыре - ближе, чем фотонная сфера в шварцшильдовском случае.

Анализ поведения лучей света в экваториальной плоскости показывает, что существуют две круговые орбиты - внутренняя, по которой свет обращается в ту же сторону, в которую вращается чёрная дыра, и внешняя, по которой свет обращается в противоположную сторону. Можно сказать, что, когда шварцшильдовская чёрная дыра приобретает момент количества движения, фотонная сфера «расщепляется» на две. Между орбитами с прямым и обратным вращением в экваториальной плоскости имеется множество неустойчивых круговых орбит для световых лучей. Эти орбиты соответствуют световым лучам, приходящим к чёрной дыре с разных направлений, не лежащих в экваториальной плоскости.

Для того чтобы разобраться, что же происходит вне экваториальной плоскости, рассмотрим световые лучи, приближающиеся к чёрной дыре параллельно её оси вращения. На рис. 12.5 изображены траектории таких лучей в окрестностях предельной чёрной дыры (М = а), вычисленные Ч.Т. Каннингэмом. Если на рис. 12.4 изображен «вид сверху», а именно орбиты, лежащие в экваториальной плоскости, то рис. 12.5 - это «вид сбоку» на орбиты световых лучей в плоскости, проходящей через ось, вокруг которой вращается чёрная дыра.

РИС. 12.5. Орбиты света вокруг керровской чёрной дыры (параллельно оси вращения). Те лучи света, которые проходят далеко от вращающейся чёрной дыры, отклоняются лишь на малые углы. Для луча света, пришедшего к дыре параллельно её оси вращения, существует только одна возможная круговая орбита. (Диаграмма построена для предельного решения Керра, когда М = а.)

Как всегда, лучи света, проходящие вдалеке от чёрной дыры, отклоняются лишь на малые углы. Лучи, прицельные параметры которых меньше (т.е. которые проходят ближе к оси вращения), отклоняются сильнее. Теперь среди всех значений прицельного параметра существует лишь одно, при котором свет захватывается на круговую орбиту вокруг дыры (см. рис. 12.5). Итак, для лучей, подходящих к чёрной дыре параллельно её оси вращения, существует только одна неустойчивая круговая орбита. Эта орбита находится от чёрной дыры на расстоянии, промежуточном между расстояниями для орбит в экваториальной плоскости с прямым и обратным вращением. Если вас смутит тот факт, что на рис. 12.5 эта «круговая» орбита имеет вид эллипса, то вспомните, что используются сплющенные эллипсоидальные координаты. Если смотреть на эти координаты «в профиль» (см. рис. 12.2), то линии постоянного расстояния от кольцевой сингулярности оказываются эллипсами.

В определённом смысле рис. 12.5 даёт слишком упрощённую картину. Пространство-время в окрестностях вращающейся чёрной дыры увлекается в сторону её вращения. И хотя на рис. 12.5 верно изображены расстояния от чёрной дыры падающих на неё лучей света, этим и исчерпывается правильность рисунка. На самом деле луч, приближаясь к чёрной дыре, начинает обращаться вокруг неё по спирали в силу эффекта увлечения инерциальных систем. На рис. 12.6 показано, как увлечение действует на некий конкретный луч. В целом траектория движения луча света в трёхмерном пространстве представляет собою сложную спираль. Следовательно, чтобы получить полную картину происходящего с лучами света, приближающимися к чёрной дыре, следует вращать рис. 12,5 (и любую другую подобную схему) вокруг оси вращения чёрной дыры. Тем не менее схемы типа приведенной на рис. 12.5 дают достаточно хорошее представление о том, как меняется расстояние (и только расстояние) луча света от чёрной дыры.

РИС. 12.6. Луч света, проходящий мимо керровской чёрной дыры. При прохождении луча света вблизи вращающейся чёрной дыры его траектория закручивается вокруг дыры вследствие увлечения пространства-времени. Поэтому, чтобы обрисовать реальные траектории в трёхмерном пространстве, орбиты, изображенные на рис. 12.5 (и на всех подобных схемах), необходимо вращать вокруг оси чёрной дыры.

Итак, вокруг чёрной дыры существует множество различных неустойчивых круговых орбит световых лучей. Самая далекая из них - это круговая орбита с обратным вращением в экваториальной плоскости. Самая близкая - круговая орбита с прямым вращением, опять-таки в экваториальной плоскости. Между этими двумя пределами находятся различные возможные орбиты лучей света, подошедших к чёрной дыре под разными углами. Для каждого данного угла будут существовать орбиты как с прямым, так и с обратным вращением, за исключением тех лучей, которые пришли параллельно оси вращения. Для луча света, подошедшего к чёрной дыре параллельно её оси вращения, имеется лишь одна круговая орбита.

Если чёрная дыра вращается медленно, то разброс круговых орбит невелик. Все возможные орбиты расположены друг около друга над внешним горизонтом событий на расстояниях, близких к положению шварцшильдовской фотонной сферы (которая существовала бы, если бы дыра не вращалась). При более быстром вращении чёрной дыры расстояние между орбитами в экваториальной плоскости с прямым и обратным вращением становится больше. Соответственно увеличивается и разброс радиусов круговых орбит. Наибольший возможный разброс имеет место для предельной керровской чёрной дыры (когда М = а).

Для наглядного представления разброса круговых орбит света вблизи вращающейся чёрной дыры удобнее всего изобразить огибающую поверхность всех таких орбит, состоящую из двух частей - внешней и внутренней. На рис. 12.7 изображено сечение огибающей поверхности всех возможных круговых орбит вокруг быстро вращающейся керровской дыры (а = 90% М). Каждый луч света движется весьма сложным образом вдоль поверхности эллиптического кольца внутри этих границ. При потере момента количества движения чёрной дырой по мере замедления вращения должен уменьшаться и объём, заключенный между частями огибающей поверхности. При полной остановке вращения вся огибающая поверхность превращается в фотонную сферу шварцшильдовской чёрной дыры.

РИС. 12.7. Разброс круговых орбит света вблизи быстро вращающейся чёрной дыры. Все возможные круговые орбиты света вблизи керровской чёрной дыры (при а =90%М) лежат внутри показанных здесь границ. Каждый луч света, идущий по круговой орбите, весьма сложным образом искривляется, оставаясь на поверхности эллипсоида внутри указанных границ.

РИС. 12.8. Траектории лучей света внутри керровской чёрной дыры. Те лучи света, которые направлены на вращающуюся чёрную дыру при меньшем, чем для круговой орбиты, значении прицельного параметра, попадают внутрь дыры. Вид траекторий лучей света глубоко внутри дыры показывает, что сингулярность отталкивает световые лучи. Вблизи сингулярности лучи света испытывают действие антигравитации. (Схема построена для предельного решения Керра, когда M = а.)